Question

3．如图，己知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，E是PD的中点，O是AC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）若MN=BC=4，PA=4$\sqrt{3}$，求异面直线PA与MN所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出四边形AMNE是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAD．
（2）连接MO，NO，推导出∠MNO就是PA与MN所成的角，由此能求出异面直线PA与MN所成的角的大小．

解答 证明：（1）∵P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，E是PD的中点，
∴EN∥CD，EN=$\frac{1}{2}CD$，AM∥CD，AM=$\frac{1}{2}CD$，
∴EN$\underset{∥}{=}$AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE，
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
解：（2）连接MO，NO，
∵MN=BC=4，PA=4$\sqrt{3}$，∴MO=$\frac{1}{2}BC$=2，NO$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$PA=2$\sqrt{3}$，
∴∠MNO就是PA与MN所成的角，
在△MNO中，由余弦定理得cos∠MNO=$\frac{16+12-4}{2×4×2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠MNO=30°．
∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．