Question

12．已知f（x）=sinx，求证：
（1）$\frac{f（x+h）-f（x）}{h}$=sinx（$\frac{cosh-1}{h}$）+cosx（$\frac{sinh}{h}$）；
（2）$\frac{f（x+2h）-f（x）}{2h}$=cos（x+h）$\frac{sinh}{h}$．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{f（x+h）-f（x）}{h}$=$\frac{sin（x+h）-sinx}{h}$，利用正弦函数加法定理能证明$\frac{f（x+h）-f（x）}{h}$=sinx（$\frac{cosh-1}{h}$）+cosx（$\frac{sinh}{h}$）．
（2）由$\frac{f（x+2h）-f（x）}{2h}$=$\frac{sin（x+2h）-sinx}{2h}$，利用正弦函数加法定理和倍角公式能证明$\frac{f（x+2h）-f（x）}{2h}$=cos（x+h）$\frac{sinh}{h}$．

解答 证明：（1）∵f（x）=sinx，
∴$\frac{f（x+h）-f（x）}{h}$=$\frac{sin（x+h）-sinx}{h}$
=$\frac{sinxcosh+cosxsinh-sinx}{h}$
=sinx（$\frac{cosh-1}{h}$）+cosx（$\frac{sinh}{h}$），
∴$\frac{f（x+h）-f（x）}{h}$=sinx（$\frac{cosh-1}{h}$）+cosx（$\frac{sinh}{h}$）．
（2）∵f（x）=sinx，
∴$\frac{f（x+2h）-f（x）}{2h}$=$\frac{sin（x+2h）-sinx}{2h}$
=$\frac{sinxcos2h+cosxsin2h-sinx}{2h}$
=$\frac{sinx（cos2h-1）+cosxsin2h}{2h}$
=$\frac{-sinxsi{n}^{2}h+cosxsinhcosh}{n}$
=cos（x+h）$\frac{sinh}{h}$．
∴$\frac{f（x+2h）-f（x）}{2h}$=cos（x+h）$\frac{sinh}{h}$．

点评 本题考查三角函数恒等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦函数加法定理和倍角公式的合理运用．