Question

【题目】已知函数f（x）＝2xlnx﹣x2．

（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程

（2）若方程f′（x）＝a在[，+∞）有且仅有两个实根（其中f′（x）为f（x）的导函数，e为自然对数的底），求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 2x﹣y﹣2＝0；(2) （2，e2﹣1]．

【解析】

（1）先求切点的纵坐标，再求导，进而求出在切点处的导数值，即切点处的斜率，代入点斜式方程可得切线方程；

（2）函数f（x）求导得f'（x），然后再求导得f'（x）在[，+∞）的单调性，求出最小值，进而得与a有两个根时的取值范围．

（1）由函数f（x）＝2xlnx﹣x2可知：f（1）＝0，f'（x）＝2（lnx+1）﹣1，

∴f'（1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：y＝2（x﹣1），

曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：2x﹣y﹣2＝0；

（2）由（1）得，f'（x）＝2lnx+1，

f'（x），

当x＜1，f'（x）＜0，f'（x）单调递减，

当x＞1，f'（x）＞0，f'（x）单调递增，

而f'（）＝﹣2+1+e2＞0，最小值f'（1）＝2＞0时，f（x）→+∞，

所以f'（x）＝a有两个根的取值范围：（2，e2﹣1]．

故实数a的取值范围：（2，e2﹣1]．