Question

已知圆C：x²+y²=r²（r＞0），直线l：（2m+1）x+（m+1）y-6m-4=0（m∈R）
（1）当r=5时，若坐标原点O到直线l的距离最大，求直线l的方程
（2）当r=2时，设点P（X₀，Y₀）是（1）中直线l上的点，若圆上存在点Q使得∠OPQ=30°，求X₀的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）由已知得直线l过定点A（2，2），由r=5，|OA|=

4+4

=2

2

＜r，得定点A（2，2）在圆内，要使原点到直线l的距离最大，只需l⊥OA，由此能求出直线l的方程．
（2）r=2时，直线l：x+y-4=0与圆C相离，若圆上存在点Q使得∠OPQ=30°，则直线PQ与圆C相交或相切，由此能求出x₀的取值范围．

解答： 解：（1）∵直线l：（2m+1）x+（m+1）y-6m-4=0（m∈R），
∴直线l的方程可化为：（2x+y-6）m++x+y-4=0，
由

2x+y-6=0 x+y-4=0

，得x=y=2，
∴直线l过定点A（2，2），
∵r=5，|OA|=

4+4

=2

2

＜r，
∴定点A（2，2）在圆内，
要使原点到直线l的距离最大，只需l⊥OA，
∵k_OA=1，∴k_l=-1，
∴直线l的方程为：y-2=-（x-2），即x+y-4=0．
（2）∵r=2时，直线l：x+y-4=0与圆C相离，
若圆上存在点Q使得∠OPQ=30°，
则直线PQ与圆C相交或相切，
∴|OP|sin30°≤r，即

x02+y02

sin30°≤2，
∴

x02+(4-x0)2

≤4，
解得x₀的取值范围是0≤x₀≤4．

点评：本题考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．