Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出的最大值并给出推导过程，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（I）求出， ， ，利用导数的几何意义以及点斜式可得曲线在点处的切线方程；（II）先根据时，可得，所以若存在，则正整数的值只能取， ， 时，利用导数研究函数的单调性，可证明不等式恒成立，从而可得的最大值.

试题解析：（Ⅰ）依题意

则， ，

故所求切线方程为.

（Ⅱ）依题意， ，故，

故对一切恒成立，

当时，可得，所以若存在，则正整数的值只能取， .

下面证明当时，不等式恒成立，

设，则，

易知（），当时， ；当时， .

即在上是减函数，在上是增函数，

所以，

当时，不等式恒成立，所以的最大值是.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.