Question

（本小题满分14分）过点作曲线的切线，切点为，过作轴的垂线交 轴于点，又过作曲线C的，切点为，过作轴的垂线交轴于点，…，依次下去得到一系列点，…，设点的横坐标为．（1）求数列的通项公式；
（2）求和；（3）求证：．

Answer 1

解：（1）∵，∴．
若切点是，
则切线方程为．     …………………1分
当时，切线过点，
即：，
依题意．所以．      …………………2分
当时，切线过点，
即：，
依题意，所以． ………………3分
所以数列是首项为，
公比为的等比数列．所以． …………4分
（2）记，
因为，
所以．   …………………5分
两式相减，
得： 

　　    
．  …………………7分
∴

．         …………………9分
（3）证法1：

 ．      
…………………14分
证法2：当时，
．…………………10分
假设时，结论成立，
即，
则．
即时．
．                       …………………13分
综上，　
对都成立．             …………………14分

略