Question

已知函数f（x）=mx²+nx+3m+n是偶函数，且其定义域为[m-1，2m]．
（1）求m，n的值；
（2）求函数f（x）在其定义域上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知函数f（x）=mx²+nx+3m+n是偶函数，且其定义域为[m-1，2m]．根据偶函数定义域关于原点对称，且偶函数的定义中f（-x）=f（x）恒成立，我们可以构造一个关于m，n的方程组，解方程组即可得到m，n的值．
（2）由（1）中m，n的值，我们易得到函数的解析式，分析函数的图象及性质，结合函数的定义域，易求出函数f（x）在其定义域上的最大值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=mx²+nx+3m+n是偶函数，
∴函数的定义值关于原点对称，
又∵函数f（x）的定义域为[m-1，2m]．
∴m-1+2m=0，解得m=

1

3

又由f（-x）=mx²-nx+3m+n=f（x）=mx²+nx+3m+n
可得n=0
（2）由（1）得函数的解析式为：f（x）=

1

3

x²+1，定义域为[-

2

3

，

2

3

]．
其图象是开口方向朝上，且以Y轴为对称轴的抛物线
当x=±

2

3

时，f（x）取最大值

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点评：本题考查的知识点是偶函数，函数的定义域及其求法，函数的最在大值，其中根据偶函数的定义和性质构造关于m，n的方程组，求出m，n的值，进而得到函数的解析式，是解答本题的关键．