Question

20．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{48}{（n+2）^{2}-4}$，S_n是数列{a_n}的前n项的和，则与S₉₈最接近的整数是（　　）

• A． 20
• B． 21
• C． 24
• D． 25

Answer 1

分析 由题意可得，a_n=$\frac{48}{（n+2）^{2}-4}$=12（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+4}$），利用裂项求和可得S_n=25-12（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+$\frac{1}{n+4}$），求出结果再跟选项相比较即可．

解答 解：∵a_n=$\frac{48}{（n+2）^{2}-4}$=12（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+4}$）
∴S_n=12（1-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+4}$）=12（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$-$\frac{1}{n+4}$）=25-12（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+$\frac{1}{n+4}$）
∴与S₉₈最接近的整数是25；
故选D．

点评 本题主要考查了数列的求和，而求和方法的选择最关键的是观察通项公式，正确裂项．