Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，在底面ABCD中，AD//BC,AD⊥CD，Q是AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2,BC=AD=1,CD=,PB=．

（Ⅰ）求证：平面PAD⊥底面ABCD；

（Ⅱ）试求三棱锥B-PQM的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明：∵，，是的中点，∴四边形是平行四边形，∴．∵，∴．

又，，是的中点，故．

又，由勾股定理得．

又，∴平面，∴平面底面；

（2）

【解析】

（Ⅰ）若证面面垂直，则需证线面垂直，根据平行线的性质证明垂直，由勾股定理也可证垂直，定理可证明面面垂直.

（Ⅱ）通过垂直关系证明线与底面垂直，确定高线，由中点性质，先求出大的三棱锥体积再乘以即可.

（Ⅰ）证明：∵，，是的中点，∴四边形是平行四边形，

∴．∵，∴．

又，，是的中点，故．

又，由勾股定理得．

又，∴平面，∴平面底面．

（Ⅱ）∵，是的中点，∴．

∵平面平面，平面平面，∴平面．

又是的中点，

故