Question

5．已知a_n=2n（n∈N⁺），则a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1=$\frac{4n（n+1）（n+2）}{3}$．

Answer 1

分析 通过a_n=2n（n∈N⁺）可知a_na_n+1=4n²+4n，进而利用分组法求和计算即得结论．

解答 解：∵a_n=2n（n∈N⁺），
∴a_na_n+1=4n（n+1）=4n²+4n，
又∵$\sum_{i=1}^{n}$i²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，
∴a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1=4•$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$+4•$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{2n（n+1）（2n+1）}{3}$+2n（n+1）
=$\frac{4n（n+1）（n+2）}{3}$，
故答案为：$\frac{4n（n+1）（n+2）}{3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．