Question

6．电视台与某企业签订了播放两套连续剧的合作合同．约定每集电视连续剧播出后，另外播出2分钟广告．已知连续剧甲每集播放80分钟，收视观众为60万，连续剧乙每集播放40分钟，收视观众为20万，根据合同，要求电视台每周至少播放12分钟广告，而电视剧播放时间每周不多于320分钟，设每周播放甲乙两套电视剧分别为x集、y集．
（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）电视台每周应播映两套连续剧各多少集，才能使收视观众最多，最高收视观众有多少万人？

Answer 1

分析 （I）根据广告和连续剧的播放时间列不等式组即可；
（II）利用简单线性规划知识求出观众人数的最值．

解答 解：（I）x，y列出满足条件的数学关系式为：$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y≥12}\\{80x+40y≤320}\\{x≥0}\\{y≥0}\\{x∈N}\\{y∈N}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥6}\\{2x+y≤8}\\{x≥0}\\{y≥0}\\{x∈N}\\{y∈N}\end{array}\right.$．
相应的平面区域为：

（II）设每周收视观众为z万人，则z=60x+20y，
∴y=-3x+$\frac{z}{20}$，
∴直线y=-3x+$\frac{z}{20}$经过点A时，截距最大，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{2x+y=8}\end{array}\right.$，得A（2，4），
∴z的最大值为60×2+20×4=200．
∴每周播放连续剧甲2集，连续剧乙4集收视观众最多，最高收视观众为200万人．

点评 本题考查了简单线性规划的应用，属于中档题．