Question

已知△ABC满足

AB

2=2

BA

•

CA

，则△ABC的形状为（　　）

• A、直角三角形
• B、等边三角形
• C、等腰直角三角形
• D、等腰三角形

Answer 1

分析：把已知的等式左边利用

a

2=|

a

|2化简，右边利用

a

•

b

=|

a

||

b

|cosα（其中α为两向量的夹角）化简，然后在利用正弦定理把边化为角后，根据C为三角形的内角可得sinC不为0，在等式两边同时除以sinC，再根据三角形的内角和定理及诱导公式可得sinC=sin（A+B），利用两角和的正弦函数公式化简，移项合并后再利用两角差的正弦函数公式化简，可得sin（A-B）=0，由A和B都为三角形的内角，可得A=B，从而利用等角对等边可得三角形为等腰三角形．

解答：解：根据

AB

2=2

BA

•

CA

得到：c²=2bccosA，
由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

=2R，可得sin²C=2sinBsinCcosA，
又C为三角形的内角，得到sinC≠0，
可得sinC=2sinBcosA，
又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA，即sinAcosB-cosAsinB=0，
∴sin（A-B）=0，且A和B都为三角形的内角，
∴A=B，
则△ABC的形状为等腰三角形．
故选D

点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，正弦定理，诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式，其中利用平面向量的数量积运算法则及正弦定理化简已知的等式是本题的突破点，熟练掌握公式是解本题的关键．