Question

18．已知正方形ABCD的边长为1，弧BD是以点A为圆心的圆弧．
（1）在正方形内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；
（2）用大豆将正方形均匀铺满，经清点，发现大豆一共28粒，其中有22粒落在圆中阴影部分内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.01）．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及事件“|AM|≤1”对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．
（2）正方形内的56粒芝麻颗粒中有44粒落在扇形BAD内，频率为$\frac{22}{28}$，用频率估计概率，由（1）知$\frac{π}{4}$，可得圆周率π的近似值．

解答 解：（1）如图，在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，满足条件的点M落在扇形BAD内（图中阴影部分），由几何概型概率计算公式，有：$P（{|{MA}|≤1}）=\frac{{{S_{阴影部分}}}}{{{S_{正方形ABCD}}}}=\frac{π}{4}$，
故事件“|AM|≤1”发生的概率为$\frac{π}{4}$．
（2）正方形内的28粒大豆有22粒落在扇形BAD内，
频率为$\frac{22}{28}=\frac{11}{14}$，
用频率估计概率，由（1）知$\frac{π}{4}≈\frac{11}{14}$，
∴$π≈\frac{11}{14}×4=\frac{22}{7}≈3.14$，即π的近似值为3.14．

点评 本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．