Question

在直角坐标系xoy中线段AB与y轴垂直，其长度为2，AB的中点C在直线x+2y-4=0上，则∠AOB的最大值为______．

Answer 1

如图所示．
由题意可设A（a，b），B（2+a，b），则线段AB的中点C（a+1，b）．
∵AB的中点C在直线x+2y-4=0上，∴a+1+2b-4=0，化为a+2b=3．
①当a=0时，b=

3

2

．此时A(0，

3

2

)，B(2，

3

2

)．
可得tan∠AOB=

|AB|

|OA|

=

2

3 2

=

4

3

．
②当a=-2时，b=

5

2

．此时A(-2，

5

2

)，B(0，

5

2

)．
可得tan∠AOB=

|AB|

|OA|

=

2

5 2

=

4

5

．
③当b=0时，a=3．此时A（3，0），B（5，0）．
可得tan∠AOB=0．
④当a≠0，-2且b≠0时，此时kOA=

b

a

，kOB=

b

2+a

．
当b＞0时，可得tan∠AOB=

kOA-kOB

1+kOA•kOB

=

b a - b 2+a

1+ b a • b 2+a

=

2b

a(2+a)+b2

=

2b

(3-2b)(5-2b)+b2

=

2

5b+ 15 b -16

．
tan∠AOB≤

2

2 5b• 15 b -16

=

1

5 3 -8

=

5 3 +8

11

，当且仅当b=

3

，a=3-2

3

时取等号．
当b＜0时，tan∠AOB=

2

16-5b- 15 b

≤

1

8+5 3

．
综上可知：只有当a=3-2

3

时，b=

3

．可得tan∠AOB的最大值

5 3 +8

11

．
故答案为：arctan

5 3 +8

11

．