Question

已知圆和点．
（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；
（2）求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程；
（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）：或
（2）
（3）存在定点R，此时为定值或定点R，此时为定值

（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：，为圆O的切线；     1分
当切线l的斜率存在时，设直线方程为：，即，
∴圆心O到切线的距离为：，解得：
∴直线方程为：．                        
综上，切线的方程为：或                               4分
（2）点到直线的距离为：，
又∵圆被直线截得的弦长为8 ∴              7分
∴圆M的方程为：                                     8分
（3）假设存在定点R，使得为定值，设，，
∵点P在圆M上 ∴，则          10分
∵PQ为圆O的切线∴∴，

即
整理得：（*）
若使（*）对任意恒成立，则                     13分
∴，代入得：
整理得：，解得：或  ∴或
∴存在定点R，此时为定值或定点R，此时为定值．      16分