Question

18．若?m∈R，函数f（x）=mx²+x-m-a的图象和x轴恒有公共点，则实数a的取值范围为[-1，1]．

Answer 1

分析 当m=0，f（x）为一次函数，图象与x轴有交点；m＞0时，f（x）为开口向上的二次函数，令f_min（x）≤0解出实数a的取值范围；当m＜0时，f（x）为开口向下的二次函数，令f_max（x）≥0解出实数a的取值范围，最后取交即可．

解答 解：（1）若m=0，f（x）=x-a，图象与x轴交于（a，0），符合题意．
（2）若m＞0，f（x）=mx²+x-m-a图象开口向上，
f_min（x）=$\frac{4m（-m-a）-1}{4m}$=-m-a-$\frac{1}{4m}$，
∵f（x）图象和x轴恒有公共点，
∴-m-a-$\frac{1}{4m}$≤0，解得a≥-m-$\frac{1}{4m}$，
∵m+$\frac{1}{4m}$≥2$\sqrt{m•\frac{1}{4m}}$=1，
∴-m-$\frac{1}{4m}$≤-1，
∴a≥-1．
（3）若m＜0，f（x）=mx²+x-m-a图象开口向下，
f_max（x）=$\frac{4m（-m-a）-1}{4m}$=-m-a-$\frac{1}{4m}$，
∵f（x）图象和x轴恒有公共点，
∴-m-a-$\frac{1}{4m}$≥0，解得a≤-m-$\frac{1}{4m}$，
∵-m-$\frac{1}{4m}$≥2$\sqrt{-m•\frac{1}{-4m}}$=1，
∴a≤1．
∵?m∈R，函数f（x）=mx²+x-m-a的图象和x轴恒有公共点，
∴m的取值范围是R∩[-1，+∞）∩（-∞，1]=[-1，1]．
故答案为[-1，1]．

点评 本题考查了二次函数的最值与二次函数图象和x轴交点个数的关系，属于中档题．