Question

9．定义$a⊕b=\left\{\begin{array}{l}a，a≥b\\ b，a＜b\end{array}\right.$，已知函数f（x）=sinx⊕cosx，给出下列四个结论：
（1）该函数的值域为[-1，1]；
（2）f（x）是周期函数，最小正周期为π；
（3）当且仅当$2kπ+π＜x＜2kπ+\frac{3π}{2}（k∈Z）$时，f（x）＜0；
（4）当且仅当$x=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$时，该函数取得最大值．其中正确的结论是（3）．

Answer 1

分析 根据新定义，化简函数f（x），画出f（x）的图象，结合图象对四个选项中的命题进行分析、判断正误即可．

解答 解：根据新定义，函数f（x）=sinx⊕cosx=$\left\{\begin{array}{l}{cosx，x∈[-\frac{3π}{4}+2kπ，\frac{π}{4}+2kπ]k∈Z}\\{sinx，x∈[\frac{π}{4}+2kπ，\frac{5π}{4}+2kπ]k∈Z}\end{array}\right.$，
画出函数f（x）的图象如图所示；

由图象可得f（x）值域为[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$1]，故（1）错误；
又f（x）是周期函数，且最小正周期为2π，故（2）错误；
当且仅当2kπ-π＜x＜2kπ-$\frac{3π}{4}$（k∈Z）或2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{5π}{4}$（k∈Z），
即2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）时，f（x）＜0，故（3）正确；
当且仅当x=2kπ（k∈Z）或x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值1，故（4）错误．
综上，正确的结论是（3）．
故答案为：（3）．

点评 本题考查了分段函数的图象与值域的应用问题，解题时注意分段函数的值域是各部分函数值域的并集，是综合性题目．