Question

4．已知函数f（x）=x-axlnx，a∈R，若存在x₀∈[e，e²]，使得f（x₀）≤$\frac{1}{4}$lnx₀成立，则实数a的取值范围为（-∞，1-$\frac{1}{4e}$]．

Answer 1

分析 利用参数分离法进行转化，构造函数求出函数的单调性和极值即可得到结论．

解答 解：若存在x₀∈[e，e²]，使得f（x₀）≤$\frac{1}{4}$lnx₀成立，
则由f（x）=x-axlnx-$\frac{1}{4}$lnx≤0，得axlnx≥x-$\frac{1}{4}$lnx，
即a≤$\frac{4x-lnx}{4xlnx}$，设g（x）=$\frac{4x-lnx}{4xlnx}$
则g′（x）=$\frac{-4x+l{n}^{2}x}{4{x}^{2}l{n}^{2}x}$，
令h（x）=-4x+ln²x，
则h′（x）=-4x+$\frac{2lnx}{x}$=$\frac{-4{x}^{2}+2lnx}{x}$，
再令m（x）=-4x²+2lnx，
则m′（x）=-8x+$\frac{2}{x}$＜0在x∈[e，e²]恒成立，
∴m（x）在在[e，e²]为减函数，
∴m（x）_max=m（e）=-4e²+2lne＜0，
∴h′（x）＜0，在x∈[e，e²]恒成立
∴h（x）在在[e，e²]为减函数，
∴h（x）_max=h（e）=-4e+ln²e=-4e+1＜0，
∴g（x）＜0，在x∈[e，e²]恒成立
∴g（x）在[e，e²]为减函数，
∴g（x）_max=g（e）=1-$\frac{1}{4e}$，
∴a≤1-$\frac{1}{4e}$
故答案为：（-∞，1-$\frac{1}{4e}$]

点评 本题主要考查根的存在性性问题，利用参数分离法，构造函数求出函数的极值，注意本题是存在性问题，不是恒成立问题，注意两者的区别．