Question

8．已知实数a，函数f（x）=e^x-1-ax的图象与x轴相切．
（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，f（x）＞m（x-1）lnx，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据函数图象与x轴相切，求出a的值，从而求出函数的单调区间；
（2）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性以及f（x）＞m（x-1）lnx，求出m的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-1-a，设切点为（x₀，0），
依题意，$\left\{\begin{array}{l}{f{（x}_{0}）=0}\\{f′{（x}_{0}）=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{a=1}\end{array}\right.$，
所以f′（x）=e^x-1-1．
当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
故f（x）的单调递减区间为（-∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．
（2）令g（x）=f（x）-m（x-1）lnx，x＞0．
则g′（x）=e^x-1-m（lnx+$\frac{x-1}{x}$）-1，
令h（x）=g′（x），则h′（x）=e^x-1-m（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$），
（ⅰ）若m≤$\frac{1}{2}$，
因为当x＞1时，e^x-1＞1，m（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$）＜1，所以h′（x）＞0，
所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上单调递增．
又因为g′（1）=0，所以当x＞1时，g′（x）＞0，
从而g（x）在[1，+∞）上单调递增，
而g（1）=0，所以g（x）＞0，即f（x）＞m（x-1）lnx成立；
（ⅱ）若m＞$\frac{1}{2}$，
可得h′（x）在（0，+∞）上单调递增．
因为h′（1）=1-2m＜0，h′（1+ln（2m））＞0，
所以存在x₁∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x₁）=0，
且当x∈（1，x₁）时，h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（1，x₁）上单调递减，
又因为g′（1）=0，所以当x∈（1，x₁）时，g′（x）＜0，
从而g（x）在（1，x₁）上单调递减，
而g（1）=0，所以当x∈（1，x₁）时，g（x）＜0，即f（x）＞m（x-1）lnx不成立．
纵上所述，k的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想．