Question

19．用a_n表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，则a₉=9；10的因数有1，2，5，10，则a₁₀=5，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S${\;}_{{2}^{2016}-1}$=$\frac{{{4^{2016}}-1}}{3}$．

Answer 1

分析 令a_n=g（n）．由a_n的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n．令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ-1），则f（n+1）=$\frac{1}{2}×$2ⁿ[1+（2ⁿ⁺¹-1）]+g（1）+g（2）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）=4ⁿ+f（n），即f（n+1）-f（n）=4ⁿ，分别取n为1，2，…，n并累加得f（n+1）-f（1）=4+4²+…+4ⁿ，即可得出．

解答 解：令a_n=g（n）．
由a_n的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n
令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ-1）
则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ⁺¹-1）=1+3+…+（2ⁿ⁺¹-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）
=$\frac{1}{2}×$2ⁿ[1+（2ⁿ⁺¹-1）]+g（1）+g（2）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）=4ⁿ+f（n）
即f（n+1）-f（n）=4ⁿ
分别取n为1，2，…，n并累加得f（n+1）-f（1）=4+4²+…+4ⁿ=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）
又f（1）=g（1）=1，∴f（n+1）=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）+1．
∴S${\;}_{{2}^{2016}-1}$=$\frac{{4}^{2016}-1}{3}$．
故答案为：$\frac{{{4^{2016}}-1}}{3}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．