Question

直线l₁：θ=

π

4

（ρ∈R）与直线l₂：

x=2t y=1+t

（t为参数）的交点为A，曲线C：

x=2 2 cosα y=2 2 sinα

（其中α为参数）．
（Ⅰ）求直线l₁与直线l₂的交点A的极坐标；
（Ⅱ）求曲线C过点A的切线l的极坐标方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把直线l₁、l₂的方程化为普通方程，联立成方程组，求出点A的坐标，再化为极坐标；
（Ⅱ）把曲线C的方程化为普通方程，求出曲线C过点A的切线l的方程，再化为极坐标方程．

解答：解（Ⅰ）将直线l₁、l₂的方程化为普通方程，得
l₁；y=x，l₂：x-2y+2=0；
联立方程组

y=x x-2y+2=0

，
解得

x=2 y=2

；
∴点A的坐标为（2，2），
点A的极坐标为（2

2

，

π

4

）；
（Ⅱ）把曲线C的方程化为普通方程，得x²+y²=8，
∴曲线C是圆心为（0，0），半径为2

2

的圆，
且点A（2，2）在曲线C上；
∵k_OA=1，
∴曲线C过点A的切线l的斜率k_l=-1，
∴l的方程为x+y-4=0；
∴l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-4=0．

点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应把参数方程化为普通方程，再进行解答，最后把解答的结果化为极坐标方程，是基础题．