Question

12．已知函数f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若$x∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，求f（x）的最大值和最小值，并指出f（x）取得最值时相应x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦函数的图象与性质，即可求出函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）根据x的取值范围，求出$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$的取值范围，从而求出f（x）的最大、最小值以及对应的x值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3，x∈R，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$≤$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
即-$\frac{4π}{3}$+4kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+4kπ，k∈Z；
所以函数f（x）的单调增区间为
[-$\frac{4π}{3}$+4kπ，$\frac{2π}{3}$+4kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）因为$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{4π}{3}$，
所以$\frac{π}{6}$≤$\frac{x}{2}$≤$\frac{2π}{3}$，
所以$\frac{π}{3}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
所以当$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即$x=\frac{4π}{3}$时，f（x）取得最小值为${[f（x）]_{min}}=\frac{9}{2}$；
当$\frac{x}{2}+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{2π}{3}$时，f（x）取得最大值为[f（x）]_max=6．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．