Question

10．已知函数y=$\frac{{a}^{2}+2asinx+2}{{a}^{2}+2acosx+2}$（x∈R）且a≠0，a∈R，试求此函数的值域．

Answer 1

分析 问题可化为（y-1）a²+2（ycosx-sinx）a+2y-2=0必定有解，当y-1≠0时，由△≥0结合三角函数的知识可得y的范围，当y=1时验证不合题意，综合可得．

解答 解：分母看作a的二次函数，可得△=（2cosx）²-4×1×2＜0，
由二次函数可知分母a²+2acosx+2恒大于0，
∴原式可化为ya²+2aycosx+2y=a²+2asinx+2，
整理可得（y-1）a²+2（ycosx-sinx）a+2y-2=0，
∵关于a的一元二次方程必定有解，
∴当y-1≠0时，△=4（ycosx-sinx）²-8（y-1）²≥0，
由ycosx-sinx=$\sqrt{1+{y}^{2}}$sin（φ-x）整理可得（1+y²）sin²（φ-x）≥2（y-1）²，
∴$\frac{2（y-1）^{2}}{1+{y}^{2}}$≤sin²（φ-x）≤1，整理可得y²-4y+1≤0，解得2-$\sqrt{3}$≤y≤2+$\sqrt{3}$，且y≠1；
当y=1时，（2cosx-2sinx）a=0，∵x∈R，故a=0，不合题意．
故函数的值域为{y|2-$\sqrt{3}$≤y≤2+$\sqrt{3}$，且y≠1}

点评 本题考查三角函数的最值，涉及一元二次方程根的存在性和分类讨论的思想，属中档题．