Question

19．已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为$\frac{1}{3}$．为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关．
（Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；
（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为η，求η的期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设持续i天为事件A_i，i=1，2，3，4，用药持续最多一个周期为事件B，由此利用互斥事件概率加法公式能求出试验至多持续一个用药周期的概率．
法二：设用药持续最多一个周期为事件B，则$\overline B$为用药超过一个周期，利用对立事件概率计算公式能求出试验至多持续一个用药周期的概率．
（Ⅱ）随机变量η可以取1，2，分别求出相应的概率，由此能求出η的期望．

解答 解：（Ⅰ）法一：设持续i天为事件A_i，i=1，2，3，4，用药持续最多一个周期为事件B，…．（1分）
所以$P（{A_1}）=\frac{1}{3}，P（{A_2}）=\frac{1}{3}•\frac{2}{3}，P（{A_3}）=\frac{1}{3}•{（\frac{2}{3}）^2}，P（{A_4}）=\frac{1}{3}•{（\frac{2}{3}）^3}$，…．（5分）
则$P（B）=P（{A_1}）+P（{A_2}）+P（{A_3}）+P（{A_4}）=\frac{65}{81}$．…．（6分）
法二：设用药持续最多一个周期为事件B，则$\overline B$为用药超过一个周期，…．（1分）
所以$P（\overline B）={（\frac{2}{3}）^4}=\frac{16}{81}$，…．（3分）
所以$P（B）=1-{（\frac{2}{3}）^4}=\frac{65}{81}$．…．（6分）
（Ⅱ）随机变量η可以取1，2，…．（7分）
所以$P（η=1）=C_4^3{（\frac{1}{3}）^3}\frac{2}{3}+{（\frac{1}{3}）^4}=\frac{1}{9}$，
$P（η=2）=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$，….11分
所以$Eη=1•\frac{1}{9}+2•\frac{8}{9}=\frac{17}{9}$．…．（13分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．