Question

15．已知函数f（x）=alnx-2ax+b．函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是y=2x+1，则a+b的值是-3．

Answer 1

分析 先求出导数，利用切线的斜率为2，求出a，再根据切线方程求出切点坐标，代入函数f（x），求出b，即可得到a+b．

解答 解：函数f（x）=alnx-2ax+b的导函数为f′（x）=$\frac{a}{x}$-2a，
因为函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是y=2x+1，
所以切线斜率为2．
令x=1，即a-2a=2，解得a=-2．
令y=2x+1中x=1，得y=3，即f（1）=3，
所以-2ln1+4+b=3，解得b=-1．
则a+b=-2-1=-3．
故答案为：-3．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．