在平面直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=1+sinα\end{array}\right.$.在以坐标原点为极点.x轴非负半轴为极轴的极坐标系中.曲线${C 2}:ρsin=\sqrt{2}$．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程,(Ⅱ)若曲线C1和曲线C2相交于A.B两点.求|AB|� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=1+sinα\end{array}\right.$（α为参数，α∈R），在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线${C_2}：ρsin（θ-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C₁和曲线C₂相交于A，B两点，求|AB|的值．

分析（Ⅰ）利用三种方程互化方法，求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C₁和曲线C₂相交于A，B两点，求出圆心到直线的距离，即可求|AB|的值．

解答解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=1+sinα\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y-1=sinα\end{array}\right.⇒{x^2}+{（y-1）^2}=1$…3分
由$ρsin（θ-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}⇒\frac{{\sqrt{2}}}{2}ρsinθ-\frac{{\sqrt{2}}}{2}ρcosθ=\sqrt{2}⇒y-x=2$
即C₂：x-y+2=0．…6分
（Ⅱ）∵直线x-y+2=0与圆x²+（y-1）²=1相交于A，B两点，
又x²+（y-1）²=1的圆心（0，1），为半径为1，
故圆心到直线的距离$d=\frac{|0-1+2|}{{\sqrt{{1^2}+{{（-1）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$|AB|=2\sqrt{{1^2}-{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}=\sqrt{2}$．…10分．

点评本题考查三种方程的互互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．