Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，BC=2，AB=

2

，∠ABC=45°．
（1）求异面直线BD，PC所成角的余弦值；
（2）点E在线段PC上，AE与平面PAB所成角的正切值等于

33

11

，求

PE

PC

的值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由余弦定理得AC=

2

，取BC中点O，连结AO，PO，则AO，PO，BC两两垂直，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD，PC所成角的余弦值．
（2）设

PE

=λ

PC

，0≤λ≤1，由已知得E（0，-λ，

3

-

3

λ），由已知条件利用向量法能求出

PE

PC

的值．

解答： 解：（1）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
侧面PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，BC=2，AB=

2

，∠ABC=45°，
∴AC=

4+2-2×2× 2 ×cos45°

=

2

，
取BC中点O，连结AO，PO，则AO，PO，BC两两垂直，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
B（0，1，0），D（1，-2，0），

BD

=（1，-3，0），
P（0，0，

3

），C（0，-1，0），

PC

=（0，-1，-

3

），
设异面直线BD，PC所成角为θ，
cosθ=|cos＜

BD

，

PC

＞|=|

3

10 ×2

|=

3 10

20

，
∴异面直线BD，PC所成角的余弦值为

3 10

20

．
（2）设

PE

=λ

PC

，0≤λ≤1，E（0，b，c），
(0，b，c-

3

)=(0，-λ，-

3

λ)，
∴b=-λ，c=

3

-

3

λ，E（0，-λ，

3

-

3

λ），A（1，0，0），

AE

=（-1，-λ，

3

-

3

λ），

AP

=（-1，0，

3

），

AB

=（-1，1，0），
设平面APB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AP =-x+ 3 z=0 n • AB =-x+y=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，

3

，1），
∵AE与平面PAB所成角的正切值等于

33

11

，
∴AE与平面PAB所成角的正弦值等于

3

14

，
∴|cos＜

AE

，

n

＞|=|

- 3 - 3 λ+ 3 - 3 λ

7 • 1+λ2+( 3 - 3 λ)2

|=

2 3 λ

7 × 1+λ2+( 3 - 3 λ)2

=

3

14

，
由0≤λ≤1，解得λ=

1

2

，
∴

PE

PC

=

1

2

．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线段比值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．