Question

9．已知2sinαtanα=3，且0＜α＜π．
（I）求α的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=4cosxcos（x-α）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出2cos²α+3cosα-2=0，由此能求出α．
（Ⅱ）f（x）=4cosxcos（x-α）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由$x∈[0，\frac{π}{4}]$，得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}$]，由此能求出函数f（x）=4cosxcos（x-α）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵2sinαtanα=3，且0＜α＜π．
∴2sin²α=3cosα，
∴2-2cos²α=3cosα，
∴2cos²α+3cosα-2=0，
解得$cosα=\frac{1}{2}$或cosα=-2（舍），
∵0＜α＜π，∴α=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵α=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=4cosxcos（x-α）
=4cosx（cosxcos$\frac{π}{3}$+sinxsin$\frac{π}{3}$）
=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\sqrt{3}sin2x$+cos2x+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵$x∈[0，\frac{π}{4}]$，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}$]，
∴2≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1≤3，
∴函数f（x）=4cosxcos（x-α）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域为[2，3]．

点评 本题考查角的求法，考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式及余弦加法定理和正弦加法定理的合理运用．