Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面

(Ⅱ)求证：平面平面;

(Ⅲ)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为300?如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.

【解析】

(1) 方法一：取中点为,连结,，要证平面，即证：,；方法二：以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，又因为,即可得证.(2)方法一：要证平面平面，转证平面即证；方法二：分别求出两个平面的法向量即可得证.(3)建立空间直角坐标系，利用坐标法即可得到结果.

方法一：(1)取中点为,连结,

由且,

又点为中点，所以 ,

又因为分别为,中点,所以 ,

所以,

所以共面于平面 ,

因为,分别为中点, 所以,

平面,

平面,

所以平面 .

方法二：在直三棱柱中，平面

又因为,

以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

由题意得,.

所以,,

设平面的法向量为，则

，即,

令，得,

于是 ,

又因为,

所以 ,

又因为平面，

所以平面 .

（2）方法一：在直棱柱中，平面,

因为 ，所以,

又因为，

且,

所以平面 ,

平面，所以,

又，四边形为正方形,

所以 ,

又，所以,

又，

且,

所以平面 ,

又平面,

所以平面平面 .

方法二：设平面的法向量为，,

，即 ,

令，得,

于是 ,

,

即，所以平面平面.

（3）设直线与平面所成角为，则,

设，则 ,

,

所以 ,

解得或（舍）,

所以点存在，即的中点，.