Question

【题目】已知函数：

(I)当时，求的最小值；

(II)对于任意的都存在唯一的使得，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）答案不唯一，见解析（II）

【解析】

(I)求导后,通过对的讨论,得到函数的单调性,根据单调性可得最小值;

(II)对于任意的都存在唯一的使得,得的值域是的值域的子集,求出两个函数的值域后列式可求得.，注意的唯一性满足

解：（I）

时，递增，,

时，递减，

时，时递减，

时递增，

所以

综上，当；

当

当

（II）因为对于任意的都存在唯一的使得成立,

所以的值域是的值域的子集.

因为

递增，的值域为

（i）当时，在上单调递增，

又，

所以在[1,e]上的值域为,

所以

即

（ii）当时，因为时，递减，时，递增，且，

所以只需

即，所以

（iii）当时，因为在上单调递减，且，

所以不合题意.

综合以上，实数的取值范围是.