Question

【题目】已知抛物线的焦点为，准线的方程为.若三角形的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“向心三角形”.

（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？说明理由；

（2）设“向心三角形”的一边所在直线的斜率为，求直线的方程；

（3）已知三角形是“向心三角形”，证明：点的横坐标小于.

Answer 1

【答案】（1）不存在，理由详见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由题意可知，点为的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可；

（2）设点、、，利用点差法求得，根据重心的坐标公式，求出线段的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线的方程；

（3）由，等式两边平方，利用基本不等式可得出，结合等式可求出，进而证明结论成立.

（1）由题意可知，抛物线的标准方程为，

由，可知，为重心，

设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和，另外的顶点为，

由，解得：，显然，

故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和；

（2）设、、，

由，两式相减，得，所以，所以，

由题意可知，，所以，则，

由，所以，所以，线段的中点，

因此，直线的方程为，整理得.

因此，直线的方程；

（3）由（2）可知，则，①

由，，

平方可得，当且仅当时取等号，显然，

所以，即，

将①代入可得，解得，

所以点的横坐标小于.