Question

5．已知曲线C的极坐标方程是ρ-2sinθ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为$\frac{2π}{3}$．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C：ρ-2sinθ=0可化为：ρ²-2ρsinθ=0，故曲线C的直角坐标方程为：x²+y²-2y=0，配方可得C的标准方程；
根据直线l过点M（1，0），倾斜角为$\frac{2π}{3}$．得直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos\frac{2π}{3}\\ y=tsin\frac{2π}{3}\end{array}\right.$（t为参数），化简可得答案；
（2）设A、B对应的参数分别为t₁，t₂，则|AM|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|，进而可得答案．

解答 （本题满分10分）
解：（1）曲线C：ρ-2sinθ=0可化为：ρ²-2ρsinθ=0，
故曲线C的直角坐标方程为：x²+y²-2y=0，
即x²+（y-1）²=1…（2分）
 直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos\frac{2π}{3}\\ y=tsin\frac{2π}{3}\end{array}\right.$（t为参数）
即$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）…（5分）
（2）设A、B对应的参数分别为t₁，t₂
把直线l的参数方程代入曲线方程得  ${（1-\frac{1}{2}t）^2}+{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}t-1）^2}=1$
整理得${t^2}-（\sqrt{3}+1）t+1=0$
∴$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=\sqrt{3}+1\\{t_1}•{t_2}=1\end{array}\right.$
∵t₁-t₂＞0
∴$|{AM}|+|{MB}|=|{t_1}|+|{t_2}|=|{{t_1}+{t_2}}|=\sqrt{3}+1$…（10分）

点评 本题考查的知识点是圆的极坐标方程，直线的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义，难度中档．