Question

20．已知点F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，点M（2，m）在抛物线E上，且|MF|=3．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过x轴正半轴上一点N（a，0）的直线与抛物线E交于A，B两点，若OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线E的方程；
（2）设直线AB的方程为x=ty+a，与抛物线方程联立，利用x₁x₂+y₁y₂=0求解即可．

解答 解：（1）由题意，2+$\frac{p}{2}$=3，∴p=2，
∴抛物线E的方程为y²=4x；
（2）设直线AB的方程为x=ty+a．A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
联立抛物线方程得y²-4ty-4a=0，y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4a
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴a²-4a=0
∵a＞0，∴a=4．

点评 本题考查抛物线的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确设出直线方程是关键．