对于定义在R上的函数f(x).如果存在实数a.使得f=1对任意实数x∈R恒成立.则称f(x)为关于a的“倒函数．已知定义在R上的函数f(x)是关于0和1的“倒函数 .且当x∈[0.1]时.f(x)的取值范围为[1.2].则当x∈[-2016.2016]时.fA．[1.2]B．$[\frac{1}{2}.2]$C．$[\frac{1}{2}.2016]$D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．对于定义在R上的函数f（x），如果存在实数a，使得f（a+x）•f（a-x）=1对任意实数x∈R恒成立，则称f（x）为关于a的“倒函数”．已知定义在R上的函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，且当x∈[0，1]时，f（x）的取值范围为[1，2]，则当x∈[-2016，2016]时，f（x）的取值范围为（　　）

A．

[1，2]

B．

$[\frac{1}{2}，2]$

C．

$[\frac{1}{2}，2016]$

D．

分析根据“倒函数”的定义，建立两个方程关系，根据方程关系判断函数的周期性，利用函数的周期性和函数的关系进行求解即可得到结论．

解答解：若函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，
则f（x）•f（-x）=1，则f（x）≠0，
且f（1+x）•f（1-x）=1，
即f（2+x）•f（-x）=1，
即f（2+x）•f（-x）=1=f（x）•f（-x），
则f（2+x）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
若x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，2-x∈[1，2]，此时1≤f（x）≤2
∵f（x）•f（-x）=1，
∴f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∵f（-x）=f（2-x）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴当x∈[1，2]时，f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1]．
即一个周期内当x∈[0，2]时，f（x）∈[$\frac{1}{2}$，2]．
∴当x∈[-2016，2016]时，f（x）∈[$\frac{1}{2}$，2]．
故选：B．

点评本题主要考查抽象函数的应用，根据“倒函数”，的定义建立方程关系判断函数的周期性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．