Question

8．已知函数f（x）=3^|x|+log₃|x|．
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）说明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并利用单调性定义证明；
（3）若 f（2^a）＜28，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数f（x）=3^|x|+log₃|x|的定义域为R{x|x≠0}，判断f（-x）=3^|-x|+log₃|-x|=3^|x|+log₃|x|=f（x），即可；
（2）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论；
（3）利用f（3）=28，f（2^a）＜28，（x）在（0，+∞）上是增函数，即可得出结论．

解答 解：（1）函数f（x）=3^|x|+log₃|x|的定义域为R{x|x≠0}
且f（-x）=3^|-x|+log₃|-x|=3^|x|+log₃|x|=f（x），
则函数f（x）为偶函数．
（2）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=${3}^{|{x}_{1}|}+lo{g}_{3}|{x}_{1}|-{3}^{|{x}_{2}|}-lo{g}_{3}|{x}_{2}|$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（3）=28，f（2^a）＜28，（x）在（0，+∞）上是增函数
∴2^a＜3，∴a＜log₂3．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的证明，奇偶性注意先求定义域，单调性证明一般有两种方法，定义法，导数法．属于中档题．