Question

7．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$是定义在R上的奇函数，且f（1）=2．
（1）求实数a，b并写出函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的特性，可得f（0）=0，又由f（1）=2．可得实数a，b的值，进而得到函数f（x）的解析式；
（2）求导，分析导数的符号，进而判断函数f（x）在（-1，1）上的单调递增．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
又由f（1）=2．
故$\left\{\begin{array}{l}b=0\\ \frac{a}{2}=2\end{array}\right.$，
解得：a=4，b=0，
f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，
（2）函数f（x）在（-1，1）上的单调递增，理由如下：
∵f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{4（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
当x∈（-1，1）时，f′（x）≥0恒成立，
故函数f（x）在（-1，1）上的单调递增．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，难度中档．