题目内容

试证明函数f（x）=
2
x2
在（0，+∞）上是单调减函数．
考点：函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：根据函数单调性的定义即可证明函数的单调性．
解答： 证明：设任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
2
x12
-
2
x22
=
2(x22-x12)
x12x22
=
2(x2-x1)(x2+x1)
x12x22
，
因为0＜x1＜x2，
所以x2-x1＞0，x1+x2＞0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）=
2
x2
在（0，+∞）上是单调减函数．
点评：本题考查函数单调性的判断与证明，要求熟练掌握利用定义证明函数的单调性．
练习册系列答案
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f（x）=ln（4+3x-x2）的单调递增区间是（　　）
A、（-∞，
3
2
]
B、[
3
2
，+∞）
C、（-1，
3
2
]
D、[
3
2
，4）
在等差数列{an}中，a4=-12，a8=-4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）从数列{an}中依次取出a1，a2，a4，a8，…，a2n-1，构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前n项和．
在直角坐标系xOy中，圆O与直线x-
3
y=4相切．
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）若圆O上有两点M，N关于直线x+2y=0对称，且|MN|=2
3
，求直线MN的方程；
（Ⅲ）设圆O与x轴的交点为A，B，若圆内一动点P满足|PA|•|PB|=|PO|2，求动点P的轨迹方程．
已知函数y=4cos2（2π-x）+4
3
cos（
π
2
-x）cosx-2，x∈R
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值及其相对应的x值；
（3）写出函数的单调增区间．
在等差数列{an}中，若a5=6，a8=15，求公差d及a14．
设函数f（x）=lg（x2-x-6）的定义域为集合A，函数g（x）=
6
x
-1
的定义域为集合B．已知α：x∈A∩B，β：x满足3x+p＜0，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．
先后从分别标有号码1，2，3，4的4个大小、形状完全相同的球中，随机先后抽取2个球，设（i，j）表示第一次抽取的i号，第二次抽取的j号两个球．
（Ⅰ）写出随机抽取两个球的所有基本事件；
（Ⅱ）求抽到的2个球的标号之和大于5的概率．
用分析法证明：若a＞0，则
a2+
1
a2
+2≥a+
1
a
+
2
．

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