Question

数列{a_n}是公差为正数的等差数列，a₂、a₅且是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-

1

2

bn(n∈N*)，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）∵等差数列{a_n}的公差d＞0，a₂、a₅且是方程x²-12x+27=0的两根，
∴a₂=3，a₅=9．
∴d=

9-3

5-2

=2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
又数列{b_n}中，T_n=1-

1

2

b_n，①
∴T_n+1=1-

1

2

b_n+1，②
②-①得：

bn+1

bn

=

1

3

，又T₁=1-

1

2

b₁=b₁，
∴b₁=

2

3

，
∴数列{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
∴b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1；
综上所述，a_n=2n-1，b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1；
（2）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•

2

3

•(

1

3

)n-1，
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
=1×

2

3

+3×

2

3

×

1

3

+…+（2n-1）×

2

3

×(

1

3

)n-1，③
∴

1

3

S_n=

2

3

×

1

3

+3×

2

3

×(

1

3

)2+…+（2n-3）×

2

3

×(

1

3

)n-1+（2n-1）×

2

3

×(

1

3

)n，④
∴③-④得：

2

3

S_n=

2

3

+

4

3

[

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-1]-（2n-1）×

2

3

×(

1

3

)n，
S_n=1+2[

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-1]-（2n-1）×(

1

3

)n
=1+2×

1 3 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-（2n-1）×(

1

3

)n
=2-

2n+2

3

×(

1

3

)n-1
=2-（2n+2）×(

1

3

)n．