题目内容
已知函数f（x）=（ x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，若a1=f（d-1），a3=f（d+1），b1=f（q+1），b3=f（q-1）．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}的前n项和为Sn，且对一切自然数n，均有
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn |
| bn |
| lim |
| n→∞ |
| S2n+1 |
| S2n |
分析：（Ⅰ）由题意知d2-（d-2）2=2d，解得d=2．所以an=2（n-1）．再由
=q2，知
=q2=
．由此能够导出bn=3n-1．
（Ⅱ）由题设知
=a2，c1=2．所以
+
+…+
+
=an+1，
+
+…+
=an，由此能够推导出S2n+1，S2n．
| b3 |
| b1 |
| f(q+1) |
| f(q-1) |
| q2 |
| (q-2)2 |
（Ⅱ）由题设知
| c1 |
| b1 |
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn-1 |
| bn-1 |
| cn |
| bn |
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn-1 |
| bn-1 |
解答：解：（Ⅰ）∵a3-a1=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d．
即d2-（d-2）2=2d，解得d=2．
∴a1=f（2-1）=0．∴an=2（n-1）．
∵
=q2，∴
=q2=
．
∵q≠0，q≠1，∴q=-2．
又b1=f（q+1）=4，∴bn=4•（-2）n-1．
（Ⅱ）由题设知
=a2，∴c1=a2b1=8．
当n≥2时，
+
+…+
=an+1，
+
+…+
=an，
两式相减，得
=an+1-an=2．
∴cn=2bn=2×3n-1（n≥2）．
∴S2n+1=c1+c2+c3+…+c2n+1=8+2（3+32+…+32n）=8+2×
=32n+1+5．
即S2n=32n+1+5-2×32n=32n+5．
∴
=
=3
即d2-（d-2）2=2d，解得d=2．
∴a1=f（2-1）=0．∴an=2（n-1）．
∵
| b3 |
| b1 |
| f(q-1) |
| f(q+1) |
| (q-2)2 |
| q2 |
∵q≠0，q≠1，∴q=-2．
又b1=f（q+1）=4，∴bn=4•（-2）n-1．
（Ⅱ）由题设知
| c1 |
| b1 |
当n≥2时，
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn |
| bn |
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn-1 |
| bn-1 |
两式相减，得
| cn |
| bn |
∴cn=2bn=2×3n-1（n≥2）．
∴S2n+1=c1+c2+c3+…+c2n+1=8+2（3+32+…+32n）=8+2×
| 32n+1-3 |
| 3 -1 |
即S2n=32n+1+5-2×32n=32n+5．
∴
| lim |
| n→∞ |
| S2n+1 |
| S2n |
| lim |
| n→∞ |
| 32n+1+5 |
| 32n+5 |
点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用，同时考查了数列的极限，属于中档题．
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}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|