Question

设数列{a_n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n．已知a₁=1，d=2，
①求当n∈N^*时，

Sn+64

n

的最小值；
②证明：由①知S_n=n²，当n∈N^*时，

2

s1s3

+

3

s2s4

…+

n+1

SnSn+2

＜

5

16

．

Answer 1

分析：①通过等差数列的知识可求和，由基本不等式可得最值；②把①求到的和代入，由裂项相消法可求和，由不等式的放缩法可得结论．

解答：解：①∵a₁=1，d=2，∴S_n=na1+

n(n-1)

2

d=n²，

Sn+64

n

=

n2+64

n

=n+

64

n

≥2

n× 64 n

=16
当且仅当n=

64

n

即n=8时，上式取等号，
故

Sn+64

n

的最小值是16；
②证明：由①知S_n=n²，当n∈N^*时，

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]，
∴

2

s1s3

+

3

s2s4

…+

n+1

SnSn+2

=

1

4

[

1

12

-

1

32

+

1

22

-

1

42

+

1

32

-

1

52

+…+

1

n2

-

1

(n+2)2

]
=

1

4

[

1

12

+

1

22

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]，
∵

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

＞0
∴

2

s1s3

+

3

s2s4

…+

n+1

SnSn+2

＜

1

4

(

1

12

+

1

22

)=

5

16

故命题得证．

点评：本题为数列和基本不等式的结合，涉及裂项相消法求和，属中档题．