Question

【题目】已知函数．

（1）若函数在其定义域内是单调函数，求实数的取值范围；

（2）若，令（为自然对数的底数），求证：存在，使．

请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）函数的定义域为，，

显然，当时，，函数在其定义域内单调递增．（2分）

当时，令，得，要使函数在其定义域内单调，需满足，解得．

综上，实数的取值范围是．（4分）

（2），，

令，则，

令，则，

∵，∴，∴函数在上单调递减，∴，（7分）

∵，∴，即，∴在上单调递减，

∴当时，，

又，，

∴存在，使得当时，；当时，，

即存在，使得当时，；当时，，

∴函数在上先增后减，（10分）

∴存在，使，

故存在，使．（12分）