Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣ 与x=1时都取得极值，求a，b的值与函数f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f′（x）=3x2+2ax+b
由f′（﹣ ）= ﹣ a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
解得，a=﹣ ，b=﹣2．
f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：

x	（﹣∞，﹣ ）	﹣	（﹣ ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣ ）和（1，+∞），递减区间是（﹣ ，1）
【解析】求出f′（x），因为函数在x=﹣ 与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣ ）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．