题目内容
【题目】如图所示的多面体中， 
是平行四边形， 
是矩形， 
面
， 
， 
.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）若
，求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（I）在三角形
中，利用余弦定理求得
，利用勾股定理可的
，利用由
平面
得到
，所以
平面
，进而平面
平面
.（II）建立以
为坐标原点，以射线
， 
， 
分别为
轴， 
轴， 
轴正方向的空间直角坐标系，利用
的方向向量和平面
的法向量代入公式计算得
与平面
所成角的正弦值.
试题解析：
解：（Ⅰ）证明：在平行四边形
中， 
， 
，
由余弦定理，得
，
从而
，故
.
可得
为直角三角形且
，
又由
平面
， 
平面
，得
.
又
，所以
平面
.
由
平面
，得平面
平面
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得在
中， 
， 
，又由
，
设
， 
，由
平面
， 
，
建立以
为坐标原点，以射线
， 
， 
分别为
轴， 
轴， 
轴正方向的空间直角坐标系，如图所示：
得
， 
， 
， 
.
设平面
的法向量为
，得
所以
令
，得
，
又因为
，
所以
.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
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