题目内容
3．△ABC中，∠A=120°，∠A的平分线AD交边BC于D，且AB=2，CD=2DB，则AD的长为$\frac{4}{3}$．分析 根据CD=2DB，得到B，C，D三点共线，继而得到$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，根据平分线的性质求出AC=4，利用向量的模的计算和向量的数量积即可求出答案．
解答 解：由题意B，C，D三点共线，且$\frac{CD}{BD}$=$\frac{2}{1}$，则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
根据角平分线的性质$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=4，
∴|$\overrightarrow{AD}$|2=（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$）2=$\frac{1}{9}$|$\overrightarrow{AC}$|2+$\frac{4}{9}$|AB|2+$\frac{4}{9}$|$\overrightarrow{AC}$||$\overrightarrow{AB}$|cosA=$\frac{16}{9}$+$\frac{16}{9}$-$\frac{16}{9}$=$\frac{16}{9}$，
∴AD=$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$．
点评 本题考查了向量在几何中的应用，关键是掌握向量的数量积公式，属于中档题．
练习册系列答案
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20．已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象相邻的对称轴之间的距离为2π，将其向左平移$\frac{π}{2}$个单位，所得函数图象与g（x）=cos（ωx+$\frac{π}{3}$）重合，则φ的值为（ ）
| A． | $\frac{π}{4}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{7π}{12}$ | D． | $\frac{2π}{3}$ |
．
如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（ ）