Question

在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足

AE

EB

=

CF

FA

=

CP

PB

=

1

2

，将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连结A₁B，A₁P（如图）．
（I）求证：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求点B到面A₁PF的距离；
（Ⅲ）求异面直线BP与A₁F所成角的余弦．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）利用面面垂直的性质定理判断；
（Ⅱ）点B到面A₁PF的距离进行转化，B到面面A₁PF的距离即为E到面面A₁PF的距离，E到面A₁PF的距离即为△A₁EF中E到A₁F的距离；
（Ⅲ）DF∥BP∴∠DFA₁即为所求角

解答： （本小题满分12分）证明：（I）在图1中，取BE的中点D，连DF
∵

AE

EB

=

CF

FA

=

CP

PB

=

1

2

，∵AF=AD=2，又∠A=60°∴△ADF为正三角形
又∵AE=ED=1∴EF⊥AD∴在图2中有A₁E⊥EF，BE=EF
∴∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角∵二面角A₁-EF-B为直二面角∴A₁E⊥BE
又∵BE∩EF=E，∴A₁E⊥面BEF，即A₁E⊥面BEP-----------（4分）
（Ⅱ）∵BE∥PF∴BE∥面A₁PF，∵B到面面A₁PF的距离即为E到面面A₁PF的距离，
∵BE⊥面A₁EF，又BE∥PF，∴PF⊥面A₁EF
∴面A₁EF⊥面A₁PF∵E到面A₁PF的距离即为△A₁EF中E到A₁F的距离
d=A₁E×sin60°=

3

2

∴点B到面A₁PF的距离为

3

2

-------------（8分）
（Ⅲ）∵DF∥BP∴∠DFA₁即为所求角
△A₁DF中A₁D=

2

，DF=2，A₁F=2，cos∠DFA1=

DF2+A1F2+A1D2

2DF•A1F

=

3

4

∴异面直线BP与A₁F所成角的余弦值为

3

4

-----------（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点面距，考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意问题的转化．