Question

1．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1）且边AC，BC所在的直线的斜率之积等于
m（m≠0）
（Ⅰ）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E的曲线类型；
（Ⅱ）当m=$-\frac{1}{2}$时，过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M，Q不重合），求证：直线MQ与x轴的交点为定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设C（x，y），由题意得-mx²+y²=1（x≠0），由m＜-1，m=-1，-1＜m＜0三种分类讨论，能顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E的曲线类型．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），（x₁x₂≠0），当m=-$\frac{1}{2}$时，轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$（x≠0），依题意可知直线l的斜率存在且不为0，则可设直线l的方程为x=ty+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（t²+2）y²+2ty-1=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出直线MQ与x轴的交点为定点，并能求出该定点的坐标．

解答 解：（Ⅰ）设C（x，y），由已知$\frac{y+1}{x}×\frac{y-1}{x}=m$，即-mx²+y²=1（x≠0），
当m＜-1时，轨迹E表示焦点在y轴，且除去（0，1），（0，-1）两点的椭圆；
当m=-1时，轨迹E表示以点（0，0）为圆心，以1为半径，且除去点（0，1），（0，-1）两点的圆；
当-1＜m＜0，轨迹E表示焦点在y轴，且除去（0，1），（0，-1）两点的双曲线．
证明：（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），（x₁x₂≠0），
当m=-$\frac{1}{2}$时，轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$（x≠0），
依题意可知直线l的斜率存在且不为0，则可设直线l的方程为x=ty+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理，得（t²+2）y²+2ty-1=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2t}{{t}^{2}+2}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{{t}^{2}+2}$，
∵M、Q不重合，则x₁≠x₂，y₁≠-y₂，
∴直线MQ的方程为y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}（x-{x}_{1}）$，
令y=0，得x=x₁+$\frac{{{y}_{1}（{x}_{2}-{x}_{1}）}^{\;}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=ty₁+1+$\frac{t{y}_{1}（{y}_{2}-{y}_{1}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$•$\frac{2t{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+1=$\frac{2t•\frac{-1}{{t}^{2}+2}}{\frac{-2t}{{t}^{2}+2}}$+1=2，
∴直线MQ与x轴的交点为定点，该定点的坐标为（2，0）．

点评 本题考查顶点的轨迹方程的求法，考查曲线类型的判断，考查直线与x轴的交点为定点的证明，考查圆锥曲线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．