Question

7．已知函数$f（x）=x+\frac{p}{x-1}$（p为常数，且p＞0），若f（x）在（1，+∞）上的最小值为4，则实数p的值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{9}{4}$
• C． 4
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 由x-1＞0，f（x）即为（x-1）+$\frac{p}{x-1}$+1，运用基本不等式可得最小值，解方程可得p的值．

解答 解：由x＞1可得x-1＞0，即有f（x）=（x-1）+$\frac{p}{x-1}$+1
≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{p}{x-1}}$+1=2$\sqrt{p}$+1，
当且仅当x-1=$\frac{p}{x-1}$，即x=1+$\sqrt{p}$处取得最小值，且为1+2$\sqrt{p}$，
由题意可得1+2$\sqrt{p}$=4，解得p=$\frac{9}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于基础题．