Question

（2015•黄冈模拟）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（ ）

A.（1，3） B.（，3） C.（1，） D.（1，）∪（，3）

Answer 1

B

【解析】

试题分析：由新定义可知f′（x1）=f′（x2）=a2﹣a，即方程x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围．

【解析】
由题意可知，

在区间[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），

满足f′（x1）=f′（x2）===a2﹣a

∵f（x）=x3﹣x2+a，

∴f′（x）=x2﹣2x，

∴方程x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解．

令g（x）=x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）

则

解得＜a＜3，

∴实数a的取值范围是（，3）．

故选：B．