题目内容
【题目】如图，在矩形
中，
，
，点
是边
上一点，且
，点
是
的中点，将
沿着折起，使点
运动到点
处，且满足
.
（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）取
的中点
，连接
，
，由
，进而
，由
，得
. 进而
平面
,进而结论可得证（2）（方法一）过
点作的平行线
交
于点
，以点为坐标原点，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系
，求得平面
平面
的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取
的中点
，上的点
，使
，连接
，得
，
，得二面角
的平面角为
，再求解即可
（1）证明：取的中点，连接，，由已知得
，所以，又点是
的中点，所以.
因为，点是线段的中点，
所以.
又因为
，所以
，从而平面，
所以
，又，不平行，
所以
平面
.
（2）（方法一）由（1）知，过点作的平行线交于点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点
，
，
，
，
所以
，
，
.
设平面的法向量为
，
由
，得
，令
，得
.
同理，设平面
的法向量为
，
由
，得
，
令
，得
.
所以二面角的余弦值为
.
（方法二）取的中点，上的点，使，连接，易知，.
由（1）得
，所以
平面
，所以
，
又，所以
平面
，
所以二面角的平面角为.
又计算得
，
，
，
所以
.
【题目】设椭圆
，其长轴长是短轴长的
倍，过焦点且垂直于
轴的直线被椭圆截得的弦长为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）点
是椭圆上横坐标大于
的动点，点
在
轴上，圆
内切于
，试判断点在何位置时
的长度最小，并证明你的判断．
【题目】平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第
条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以
元罚款，记
分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的
个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
月份 |
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违章驾驶员人数 |
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（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数
与月份
之间的回归直线方程
；
（Ⅱ）预测该路段
月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．
参考公式：
，
．
