题目内容
【题目】已知中心在原点的椭圆和抛物线
有相同的焦点
,椭圆
过点
,抛物线
的顶点为原点.
求椭圆
和抛物线
的方程;
设点P为抛物线
准线上的任意一点,过点P作抛物线
的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
设直线PA,PB的斜率分别为
,
,求证:
为定值;
若直线AB交椭圆
于C,D两点,
,
分别是
,
的面积,试问:
是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由.
【答案】(1)为
,
为
.(2)
证明见解析;
有最小值,最小值
.
【解析】
由已知列出方程组,解方程组即可求出椭圆
和抛物线
的方程;
设
,过点P与抛物线
相切的直线方程为
,与抛物线方程联立可得
,由
及其根与系数的关系即可证明
为定值.
由题得
当直线AB的斜率存在时,可证
当直线AB的斜率不存在时,可得
,由此能求出
的最小值.
解:设椭圆
和抛物线
的方程分别为
和
,
,
中心在原点的椭圆
和抛物线
有相同的焦点
,椭圆
过点
,
抛物线的顶点为原点.
,解得
,
,
,
椭圆
的方程为
,抛物线
的方程为
.
证明:设
,过点P与抛物线
相切的直线方程为
,
由,消去x得
,
由得,
,即
,
.
设
,
由得
,
,则
,
,
直线BA的方程为,即
,
直线AB过定点
.
以A为切点的切线方程为,即
,
同理以B为切点的切线方程为,
两条切线均过点
,
,
则切点弦AB的方程为,即直线AB过定点
设P到直线AB的距离为d,
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为
,
设,
,
,
,
由,得
,
时
恒成立.
.
由,得
,
恒成立.
.
.
当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为
,
此时,,
,
.
综上,有最小值
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数如下表所示:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差x(℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y(颗) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是:先从这5组数据中选取2组,用剩下的3组数据求回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2组数据的概率.
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求y关于x的线性回归方程.
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?